“运算律”教学要体现运算的本质

——读张奠宙《加法与乘法交换律不是“可以写出来”的》一文的思考

运算定律是数的运算体系中重要的数学规律，因为它不仅适用于整数、小数、分数的运算，也同样适用于有理数的运算。运算定律的学习不仅有助于引导学生进一步理解运算的意义，还有助于培养学生合理选择算法的能力，发展思维的灵活性。

张奠宙先生《加法与乘法交换律不是“可以写出来”的》一文对交换律及加法、乘法运算的本质做了深刻的阐述，让我感悟深刻。接下来我将从“教材呈现及编排——我的理解及教学实践——复述专家观点——我的思考”四个方面与大家分享我的读书收获。

一、教材呈现及编排

人教版有关“加法交换律和乘法交换律”的教材编排结构是一样的，从生活情境到问题解决，再到自主验证，最后抽象概括规律。具体为：

1.提供生活化素材，通过创设问题情境，引出两个不同的加法和乘法算式。

2.通过计算，发现结果相等，从而列出等式。

3.让学生例举出类似的等式进行验证，最后用不完全归纳法抽象概括规律，建立数学定律模型。

4.用符号表示运算定律。

二、我对教材编排的理解及教学实践

我认为教材这样编排的目的有四：

1.在具体情境中解决问题，体现数学与生活的密切联系。

2.引导学生通过计算、猜测、验证的方法发现规律，经历运算定律的形成过程，积累数学学习的基本活动经验。

3.让学生尝试多元化表征交换律，内化对交换律的理解，渗透符号思想。

4.体验运算定律的应用价值，增强应用意识。

以《乘法交换律》的教学为例，很多的一线教师是这样体现教材意图的：

1. 猜测规律：加法有交换律，其它运算中是否也存在交换律？

2. 验证规律：

 ① 解决实际问题，初步感知乘法交换律的存在。

 ② 学生例举出类似的例子。

 ③ 尝试运用旧知验证，沟通知识间的联系。（乘法的意义、乘法的验算等）

3.总结规律

4.应用规律

三、张奠宙先生的观点

论著中张奠宙先生对“交换律”这一教学内容又是怎样看待和理解的呢？

 1.“交换律”中的两个数为什么可以交换位置，等式成立的本源是什么，教材没有说清。

人教版教材仅是通过让学生写出许多类似于“3+4=4+3、3×4=4+3”的等式来验证、归纳交换律的成立，至于a+b为什么等于b+a、a×b为什么等于b×a，缺少必要的说理。

2.要让“数数”这一基本数学活动成为理解自然运算规律的一把钥匙。

教学加法交换律，关键是学生对加法意义的理解。加法的本质是“接着数”，比如：两堆石子，先数A堆的a颗，接着数B堆的b颗；或者先数B堆的b颗，接着数A堆的a颗，其结果是一样的。同样，教学乘法交换律，关键是学生对乘法的意义的理解，通过不同角度“数数”发现积相等。举个例子：计算一个3列5行的方阵人数，可以竖着数，每列有5人，一共3列，就是求3个5相加，列式为5×3；也可以横着数，每行有3人，共5行，就是求5个3相加，列式为3×5。不管怎么数，最后结果都是15，由此证明：5×3=3×5。

3.教学乘法运算律，必须先厘清乘法运算的本质。现行教材中乘法意义的解释，是将a个b和b个a看作同一件事，混淆了两种不同的计算过程，使得“乘法交换律”的学习变得没有意义，缺乏科学性，应予以改正。

我们来看一下人教版教材二年级《乘法的初步认识》这一课：

针对最后一个加法算式，教材直接呈现：7个2相加可以写成乘法算式2×7=14或7×2=14。也就是说，2×7或7×2既可以表示7个2相加，也可以表示2个7相加。这样教材就把7个2和2个7这两个不同的过程、两种不同的意义等同起来了。

回到《乘法交换律》一课，要求挖坑种树一共多少人，就是求25个4是多少，可以直接写成：25×4和4×25，无需计算结果就可以判断等式成立，举例验证显得多余，乘法交换律的教学毫无意义。然而，教材编写意图又是让学生通过计算发现结果相等，等式才成立，事实上又否定25×4和4×25是一回事了，与二年级乘法意义教学相矛盾。

因此，张奠宙先生主张现行教材中乘法意义的解释应当予以改正，并尝试用“数数”这一操作活动来说明乘法交换律的本质。

四、我的思考

读了张奠宙先生《加法与乘法交换律不是“可以写出来”的》一文后，我有以下几点思考：

1.用“理”来理解运算定律，运算律的教学要重在“说理”。

之前在运算律的教学中，我们把重心都放在验证规律正确性这一过程上，而忽视了隐藏在运算律后面蕴含的数学道理——运算的本质。运算律的教学应引导学生在理解算理的基础上，经历规律的形成过程，以理服人。“理”是运算定律的根。追本溯源，找到交换律的根——“数数”，用“数数”活动来帮助理解交换律，更有助于学生思维能力的发展。这对乘法结合律、乘法分配律教学也同样适用。

数学是一门讲理的学科，计算中有算理、图形中有推理、数的大小比较中蕴含最高位开始比的道理……凡是能讲清、学生能懂的道理，一定要说理。学生不能理解的道理，我们就采取操作体验的方式让他们感悟，如圆锥体积为什么等于和它等底等高圆柱体积的三分之一？

2.乘法交换律与乘法的意义是两件完全不同的事，两个完全不同的概念，不能等同。

乘法交换律只是说交换两个因数位置积相等，并没有说2个7和7个2的运算过程相同。乘法交换律重结果，结果表征具有单一性：7×2=2×7；乘法意义重过程说理，意义与算式的对应时而多元时而单一。我们分两种情况研究：第一种情况：不带数学情境。2个7可以列式2×7或7×2；2×7可以表示为2个7或7个2。一种意义对应两个算式，一个算式也能表示两种意义。第二种情况：带具体情境。比如：一本笔记本7元，明明买了同样的笔记本2本，一共花了多少元？7×2=14和2×7=14都对，一种意义对应两个算式；反过来，7×2=14和2×7=14这两个算式此时只能表示2个7相加，两个算式对应一种意义。

正因为如此，所以很多孩子在用乘法解决实际问题过程中只会列式不会说理，虽然题目做对但思维的正确性却无法考究。为了帮助学生厘清乘法意义，我们很多老教师课改后仍然穿新鞋走老路，几个几强调将相同加数写在乘号前面，这样学生后续学习倍的认识、分数乘法的意义才不会产生认知冲突。

文章当中有一段话是这样说的：在新世纪课改刚开始的时候，小学数学里曾有乘数和被乘数的区别，特别是在解应用问题列式时，如果列式需要写成a×b，那么写成b×a就算错。于是，一些数学家就在讽刺“在小学数学里乘法交换律不成立”这在当时成为数学课程改革的重要由头之一。

那么，到底是用乘法意义解释乘法交换律，还是用乘法交换律解释乘法意义？想必在座老师都和我都有同样想法，没有运算哪来的运算定律？儿子怎么能证明老子呢？