2019年普通高等学校招生全国统一考试Ⅰ卷数学试题反思（5）
（文科第21反思与建议）
郑观宝名师工作室

(由于网页不支持数学公式，请读者下载文档浏览)

2019年普通高等学校招生全国统一考试Ⅰ卷数学试题反思（5）

（文科第21反思与建议）

郑观宝名师工作室

21.（12分）已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．

（Ⅰ）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；

（Ⅱ）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│-│MP│为定值？并说明理由．

【点评】这是一道解析几何压轴题，主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、抛物线的定义以及相关的数学计算能力和探究能力等。在解析几何考查方向上看，与平时各类模拟卷有很大的差异，这种排序变化和明显差异，使大部分文科学生无法适应，这就是“此题不难，得分却很低”的根本原因。

下面给出本题的几种解法：

（Ⅰ）解法1：

（1）由于点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，所以以AB为直径的圆⊙满足题意，此时⊙即为⊙M半径为2；

（2）设直线与直线相交于点，⊙M过点A、B且与直线x+2=0相切于点E（不同于点D）（如图1）

由圆的切割线定理可得，所以，所以圆心在直线上，又圆心在直线的中垂线：上，解得，所以⊙M的半径为6.

综上所述⊙M的半径为2或6.

（Ⅰ）解法2：

由题可知，⊙M是过直线AB与⊙交点的圆系，所以可令⊙M的方程为，变形得。

由于⊙M与直线相切，所以，解得

所以半径。

（Ⅰ）解法3：

由题可知，圆心M是直线AB的中垂线上，所以可令⊙M的方程为，

由于⊙M与直线相切，所以，解得，

所以半径。

（Ⅰ）解法4：

设⊙M与直线相切，所以可令⊙M 的方程为，

由于⊙M ：与⊙的公共弦方程为

两圆方程相减得直线AB的方程为：

故解得

所以半径。

（Ⅱ）解法1：

设直线，则，

由圆的切割线定理可得，所以点。

由解得，消去参数得到，所以点M在抛物线上。

取该抛物线的焦点，准线：（如图2），由抛物线的定义可得：

故否存在定点，使得当A运动时，（为定值）

（Ⅱ）解法2：设

在中，，

所以，化简得到（余略）

（Ⅱ）解法3：

设直线AB：，由题可令⊙M的方程为，

变形得

所以

于是得（余略）

（Ⅱ）解法4：

设⊙M 的方程为，又⊙

两圆方程相减得直线AB的方程为：，

由于直线AB过原点，所以，即点M在抛物线上。

【反思与建议】

（1）可以说，今年全国卷的命题改革走出了非常大的一步，完全打破了此前几年的“平衡与稳定”。解析几何作为高考最后一个压轴题，已经是很久很久以前的事情了，很多师生都已经忘记了还有这一搭配。但是，今年文科却出现了这一反常排列，值得大家重视。

（2）综合今年三套全国卷，可以看出，今年的试卷已经完全打破了原来的几种既定的排列模式，即：压轴题不一定就是原来的几个固定知识模块，也就是任何一个知识模块都可能成为“压轴题”选项，也可能成为“送分题”选项。看清这一点，对我们今后的总复习有很大的导向作用：即任何一个模块的复习，都要做好“三手”准备：基础要求、提高要求、压轴题要求。这一变化也值得大家重视。

（3）从上述解法1可以看出，平面几何知识的应用可以将解析几何的计算量减少很多，也是解析几何的常用方法之一，在解析几何的复习中，要加强引导。

（4）从第（Ⅱ）小题解法1中可以看出，参数法解决解析几何问题，有时可以收到事半功倍的功效。尽管参数方程是选考内容，但参数法与参数思想是一定要尽早灌输给学生的。

（5）从这道压轴题的解答过程可以看出，这里并没有用到太多的“直线与圆锥曲线的位置关系”这篇大文章，而大多情况下只用了直线与圆以及圆与圆的位置关系，这再次说明，“小知识”同样可以出压轴题。所以，在日常教学中，不能轻视“小知识、容易知识”的复习与教学。

  （撰稿人：郑观宝、洪新华，审稿人：洪新华、郑观宝）

2019年6月18日